Question

14．如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC的延長線于點(diǎn)E．求DE的長．

Answer 1

分析 連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，由垂徑定理得AH=$\frac{1}{2}$AC=3，根據(jù)勾股定理得到OH=$\sqrt{52-32}$=4，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，∠ODE=90°，由角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD，等量代換得到∠CAD=∠ODA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=180°-90°=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，
由垂徑定理得AH=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△AOH中，OH=$\sqrt{52-32}$=4，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，∠ODE=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠E=180°-90°=90°，
又OH⊥AC，
∴∠OHE=90°，
∴四邊形ODEH為矩形，
∴DE=OH=4．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．