Question

13．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為點E、F，AB=20，CD=16．
（1）求證：AE+BF=12；
（2）當AB與CD在⊙O內(nèi)相交時，設交點為N，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請寫出新結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB=20，CD=16，即可推出CM和OC的長度，然后由勾股定理求得OM的長度，然后由OM是梯形AEFB中位線，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)即可推出AE+BF=2OM=12．
（2）連接OC、BE，作OH⊥CD，交CD于G，交BE于H，根據(jù)勾股定理確定OG=6，根據(jù)三角形中位線確定OH=$\frac{1}{2}$AE，HG=$\frac{1}{2}$AF，根據(jù)OH-GH=OG=$\frac{1}{2}$AE-$\frac{1}{2}$BF，即可求得AE-BF=12．

解答 （1）證明：連接OC，作OM⊥CD于M，
∵AB=20，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=10，
∵OM⊥CD，CD=16，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=8，
∵Rt△OCM，
∴OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵OA=OB，ME=MF，
∴OM是梯形AEFB中位線，
∴AE+BF=2OM=12，
（2）（1）中的結(jié)論不成立，
證明：連接OC、BE，作OH⊥CD，交CD于G，交BE于H，
則∠OGC=90°，且CG=DG=8，且OH∥AE，GH∥BF，
∴OG=$\sqrt{O{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵O是AB的中點，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE，HG=$\frac{1}{2}$AF，
∴OH-GH=OG=$\frac{1}{2}$AE-$\frac{1}{2}$BF，
∴AE-BF=12．

點評 本題主要考查垂徑定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識點，關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的做出輔助線，熟練運用相關(guān)的性質(zhì)定理，認真的進行計算．