Question

11．設(shè)a₁，a₂…，a₂₀₁₆是從1，0，-1這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若a₁．+a₂+…+a₂₀₁₆=69，（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₆+1）²=4007，則a₁，a₂，…，a₂₀₁₆中有（　　）個(gè)0．

• A． 163
• B． 164
• C． 165
• D． 166

Answer 1

分析 由（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₆+1）²=4007得a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₆²=1853，設(shè)數(shù)列中1有x個(gè)、0有y個(gè)，-1有z個(gè)，根據(jù)題意得出1•x+0•y+（-1）•z=69，1²•x+0²•y+（-1）²•z=1853，解之可得．

解答 解：（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₆+1）²=4007，
a₁²+2a₁+1+a₂²+2a₂+1+…+a₂₀₁₆²+2a₂₀₁₆+1=4007，
（a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₆²）+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₆）+2016=4007，
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₆=69，
∴a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₆²=1853，
設(shè)a₁，a₂，…，a₂₀₁₆中1有x個(gè)、0有y個(gè)，-1有z個(gè)，
根據(jù)題意可得：1•x+0•y+（-1）•z=69，1²•x+0²•y+（-1）²•z=1853，
即$\left\{\begin{array}{l}{x-z=69}\\{x+z=1853}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=961}\\{z=892}\end{array}\right.$，
則y=2016-961-892=163，即0有163個(gè)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用和完全平方公式，根據(jù)題意列出關(guān)于x、y、z的方程組是解題的關(guān)鍵．