Question

9．我們對平面直角坐標系xOy中的三角形給出新的定義：三角形的“橫長”和三角形的“縱長”．
我們假設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是三角形邊上的任意兩點．如果|x₁-x₂|的最大值為m，那么三角形的“橫長”l_x=m；如果|y₁-y₂|的最大值為n，那么三角形的“縱長”l_y=n．如圖1，該三角形的“橫長”l_x=|3-1|=2；“縱長”l_y=|3-0|=3．
當l_y=l_x時，我們管這樣的三角形叫做“方三角形”．
（1）如圖2所示，已知點O（0，0），A（2，0）．
①在點C（-1，3），D（2，1），$E（{\frac{1}{2}，-2}）$中，可以和點O，點A構成“方三角形”的點是C，E；
②若點F在函數(shù)y=2x-4上，且△OAF為“方三角形”，求點F的坐標；
（2）如圖3所示，已知點O（0，0），G（1，-2），點H為平面直角坐標系中任意一點．若△OGH為“方三角形”，且S_△OGH=2，請直接寫出點H的坐標．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)方三角形”的定義即可解決問題；
②據(jù)題意，當O（0，0），A（2，0）時，因為△OAF為“方三角形”，可知當x≤0時，點F位于直線y=-x+2與直線y=x-2上，當0＜x≤2時，點F位于直線y=2與直線y=-2上，當x≥2時，點F位于直線y=x與直線y=-x上，再利用方程組，求交點坐標，即可解決問題；
（2）結論：H₁（2，0），H₂（4，-4），H₃（-3，2），H₄（-1，-2）．因為△OGH為“方三角形”，推出當x≤-1時，點H位于直線y=-x-1與直線y=x-1上，
當x≥2時，點H位于直線y=x-2與直線y=-x上，以及端點為（-1，0），（-1，-2）的線段與端點為（2，0），（2，-2）的線段，結合圖形，理由方程組交點坐標即可解決問題；

解答 解：（1）①根據(jù)方三角形”的定義可知：點C、E可以和點O，點A構成“方三角形”．
故答案為C，E．

②據(jù)題意，當O（0，0），A（2，0）時，
∵△OAF為“方三角形”，
∴當x≤0時，點F位于直線y=-x+2與直線y=x-2上，
當0＜x≤2時，點F位于直線y=2與直線y=-2上，
當x≥2時，點F位于直線y=x與直線y=-x上，

又∵點F在函數(shù)y=2x-4上，
∴當$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴F₁（1，-2），
∴當$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4\end{array}\right.$，
∴F₂（4，4）．

（2）結論：H₁（2，0），H₂（4，-4），H₃（-3，2），H₄（-1，-2）
理由：據(jù)題意，當O（0，0），G（1，-2）時，

∵△OGH為“方三角形”，
∴當x≤-1時，點H位于直線y=-x-1與直線y=x-1上，
當x≥2時，點H位于直線y=x-2與直線y=-x上，
以及端點為（-1，0），（-1，-2）的線段與端點為（2，0），（2，-2）的線段，
又∵S_△OGH=2，
∴點H位于直線y₁=-2x-4與直線y₂=-2x+4上，
∴當$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-4\\ y=-x-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=2\end{array}\right.$，
∴H₃（-3，2），
∴當$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+4\\ y=-x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-4\end{array}\right.$，
∴H₂（4，-4），
∴當$\left\{\begin{array}{l}y=-2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴H₄（-1，-2），
∴當$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+4\\ y=x-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$，
∴H₁（2，0），
綜上所述，滿足條件的點H的坐標為H₁（2，0），H₂（4，-4），H₃（-3，2），H₄（-1，-2）．

點評 本題考查一次函數(shù)的應用、“方三角形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建一次函數(shù)，利用圖象法解決問題，屬于中考壓軸題．