Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx+6的圖象分別與x軸，y軸交于點A，B，點A的坐標為（-8，0）．
（1）點B的坐標為（0，6）；
（2）在第二象限內(nèi)是否存在點P，使得以P、O、A為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，請求出所有符臺條件的點P的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0可得y=6，由此可知B（0，6）；
（2）如圖，以O(shè)A、OB為邊作矩形OAP₃B，連接OP₃，作OP₁⊥AB于P₁，作AP₂⊥OP₃于P₂．易證△OAP₁，△OAP₂，△OAP₃均與△AOB相似，易知P₃（-8，6）．構(gòu)建一次函數(shù)求出交點P₁、P₂的坐標，再由當(dāng)△OAP₄∽△BOA時，可得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{O{P}_{4}}{OA}$，推出OP₄=$\frac{32}{3}$，由此可得P₄的坐標；

解答 解：（1）令x=0，得到y(tǒng)=6，
∴B（0，6）．
故答案為（0，6）．

（2）如圖，以O(shè)A、OB為邊作矩形OAP₃B，連接OP₃，作OP₁⊥AB于P₁，作AP₂⊥OP₃于P₂．

易證△OAP₁，△OAP₂，△OAP₃均與△AOB相似，易知P₃（-8，6）．
∵直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+6，
∴直線OP₁的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+6}\\{y=-\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{72}{25}}\\{y=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$，
∴P₁（-$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$），
∵直線OP₃的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x，
∴直線OP₂的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x}\\{y=\frac{4}{3}x+\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{128}{25}}\\{y=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$，
∴P₂（-$\frac{128}{25}$，$\frac{96}{25}$），
當(dāng)△OAP₄∽△BOA時，
可得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{O{P}_{4}}{OA}$，
∴OP₄=$\frac{32}{3}$，
∴P₄（-8，$\frac{32}{3}$），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為P₁（-$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$），P₂（-$\frac{128}{25}$，$\frac{96}{25}$），P₃（-8，6），P₄（-8，$\frac{32}{3}$）．

點評 此題考查了一次函數(shù)綜合題相似三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個函數(shù)圖象的交點坐標，屬于中考�？碱}型．