Question

12．如圖，已知矩形ABCD，點E在邊AD上，點F在邊AB上，CE⊥EF．
（1）若AB：BC=$\sqrt{3}$：2，請寫出圖中所有的相似三角形．
（2）若圖中所有的三角形都相似，求AB：BC．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=90°，根據CE⊥EF，得到∠AFE=∠DEC，即可得到結論；
（2）由題意得∠AFE=∠BFC=∠EFC=60°，∠FCB=∠ECF=∠ECD=30°，設AF=a，解直角三角形于是得到EF=2a，CF=4a，BC=2$\sqrt{3}$a，即可得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵CE⊥EF，
∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）由題意得：∠AFE=∠BFC=∠EFC=60°，∠FCB=∠ECF=∠ECD=30°，
設AF=a，則EF=2a，CF=4a，BC=2$\sqrt{3}$a，
∴AB：BC=3a：2$\sqrt{3}$=3：2$\sqrt{3}$，
∴若圖中所有的三角形都相似，AB：BC=3：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質，矩形的性質，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．