Question

17．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，在四邊形BDEC中，DB=DE，∠BDE=2α，M為EC的中點，
（1）求證：AM⊥DM（兩種做法）
（2）當α等于多少度時，AM=DM？

Answer 1

分析 （1）方法一，如圖1，延長CA至F點，使得AB=AC=AF，連接BF，得到△FBC為直角三角形，∠FBC=90°，延長ED至H點，使得DB=DE=DH，連接BH，BE，得到△HBE為直角三角形，∠HBE=90°，推出△FBC∽△HBE，得到$\frac{FB}{BE}=\frac{CB}{HB}$，證得△FBE∽△CBH，得到∠BHC=∠BEF，推出FE⊥CH，根據(jù)三角形的中位線的性質即可得到結論；
方法二，連接AD，AN，CD，EN，利用所給條件證明AD和AN所在的三角形全等，進而得到AD=AN，那么利用等腰三角形的三線合一性質得到所求；
（2）利用△ADM為等腰直角三角形作答即可．

解答 （1）證明：方法一，如圖1，延長CA至F點，使得AB=AC=AF，連接BF，
∴△FBC為直角三角形，∠FBC=90°，
延長ED至H點，使得DB=DE=DH，連接BH，BE，
∴△HBE為直角三角形，∠HBE=90°，
∵∠BDE=∠BHE+∠HBD=2α，∠FCB=∠ABC=∠BHE=α，
∴△FBC∽△HBE，
∴$\frac{FB}{CB}=\frac{EB}{HB}$，
∴$\frac{FB}{BE}=\frac{CB}{HB}$，
∵∠FBE=∠CBH
∴△FBE∽△CBH，
∴∠BHC=∠BEF，
∵∠BPH=∠QPE，
∠PQE=∠HBP=90°，
∴FE⊥CH，
∵M，A，D分別是CE，F(xiàn)C，EH的中點，
∴FE∥AM，CH∥DM，
∴AM⊥DM；
方法二，如圖2，連接AD，AN，CD，EN，
∵DM=MN，CM=ME，
∴四邊形DENC是平行四邊形，
∴CN∥DE，CN=DE，
∴∠E=∠NCM，
∵DB=DE，
∴BD=CN，
∵∠CBD+∠BDE+∠E+∠BCE=360°，
∠ACB+∠BCE+∠NCE+∠ACN=360°，
∴∠CBD+∠BDE=∠ACB+∠ACN
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠BDE=2α，
∴∠CBD+2α=α+∠ACN，
∴∠CBD+α=∠ACN．
∵∠ABC=α，
∴∠ABD=∠ACN，
在△ABD和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACN}\\{BD=CN}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACN（SAS），
∴AD=AN，
∴AM⊥DM；

（2）解：△ADM為等腰直角三角形，
如果AM=DM，則∠ADM=45°，∠AMD=90°．
∵∠DAC+∠CAN=90°，∠CAN=∠BAD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰RT△．
∴α=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，四邊形的內角和，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．