Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²-x+c的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），頂點(diǎn)為B．點(diǎn)C（5，m）在拋物線上，直線BC交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)AB，求∠B的正切值；
（3）點(diǎn)G為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作CB的垂線交x軸于點(diǎn)M（位于點(diǎn)E右側(cè)），當(dāng)△CGM與△ABE相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱軸可求得a的值，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得c的值，則可求得拋物線表達(dá)式，則可求得B、C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得AB、AC和BC的長(zhǎng)，可判定△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，利用三角形的定義可求得答案；
（3）設(shè)M（x，0），當(dāng)∠GCM=∠BAE時(shí)，可知△AMC為等腰直角三角形，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)∠CMG=∠BAE時(shí)，可證得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性質(zhì)可求得x的值，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x=1，
∴-$\frac{-1}{2a}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$，
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\frac{1}{2}$+1+c=0，解得c=-$\frac{3}{2}$，
∴拋物線表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
∴B（1，-2），
把C（5，m）代入拋物線解析式可得m=$\frac{25}{2}$-5-$\frac{3}{2}$=6，
∴C（5，6），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
把B、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{5k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=2x-4，
令y=2可得2x-4=0，解得x=2，
∴E（2，0）；

（2）∵A（-1，0），B（1，-2），C（5，6），
∴AB=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（5+1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（5-1）^{2}+（6+2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=8+72=80=BC²，
∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，
∴tan∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=3；

（3）∵A（-1，0），B（1，-2），
∴∠CAE=∠BAE=45°，
∵GM⊥BC，
∴∠CGM+∠GCB=∠GCB+∠ABC=90°，
∴∠CGM=∠ABC，
∴當(dāng)△CGM與△ABE相似時(shí)有兩種情況，
設(shè)M（x，0），則C（x，2x-4），
①當(dāng)∠GCM=∠BAE=45°時(shí)，則∠AMC=90°，
∴MC=AM，即2x-4=x+1，解得x=5，
∴M（5，0）；
②當(dāng)∠GMC=∠BAE=∠MAC=45°時(shí)，
∵∠MEC=∠AEB=∠MCG，
∴△MEC∽△MCA，
∴$\frac{ME}{MC}$=$\frac{MC}{MA}$，即$\frac{x-2}{MC}$=$\frac{MC}{x+1}$，
∴MC²=（x-2）（x+1），
∵C（5，6），
∴MC²=（x-5）²+6²=x²-10x+61，
∴（x-2）（x+1）=x²-10x+61，解得x=7，
∴M（7，0）；
綜上可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（7，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意利用對(duì)稱軸求得a的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得△ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．