Question

19．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠AOD=60°，E為OA的中點，F(xiàn)為OB的中點，G為CD的中點，試判斷△EFG的形狀并說明理由．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明∠OAD=∠ODA，得到AO=DO，結(jié)合∠AOD=60°，判斷出△AOD為等邊三角形，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；其次證明DE⊥AC，運用直角三角形的性質(zhì)證明EG=FG=$\frac{1}{2}CD$；運用三角形的中位線定理證明EF=$\frac{1}{2}$AB，結(jié)合AB=CD，得到EG=FG=EF，即可解決問題．

解答 解：△EFG為等邊三角形；證明如下：
如圖，連接DE、CF；
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD；
在△ABD與△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AD=DA}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠OAD=∠ODA，AO=DO；而∠AOD=60°，
∴△AOD為等邊三角形，AD=OD；
∵AE=OE，
∴DE⊥AO，△CDE為直角三角形，
∵DG=CG，
∴EG=$\frac{1}{2}$CD；同理可求：FG=$\frac{1}{2}$CD；
∵E為OA的中點，F(xiàn)為OB的中點，
∴EF為△OAB的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB；而AB=CD，
∴EG=FG=EF，
∴△EFG為等邊三角形．

點評 該題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的判定、三角形的中位線定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用全等三角形的判定、三角形的中位線定理等幾何知識點來分析、判斷、解答．