Question

11．如圖，已知：無(wú)論常數(shù)k為何值，直線(xiàn)l：y=kx+2k+2總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，若拋物線(xiàn)y=ax²過(guò)A，B（1，b），C（-1，c）三點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直線(xiàn)寫(xiě)出點(diǎn)A坐標(biāo)及a的值；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求k的值；
（3）在y軸上一點(diǎn)P到A，C的距離和最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）在（2）的條件下，x取-2＜x＜1值時(shí)，ax²＜kx+2k+2．

Answer 1

分析 （1）把直線(xiàn)解析式整理成關(guān)于k的形式，然后令k的系數(shù)等于0求解即可得到定點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)求解即可得到a的值；
（2）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)求解得到b的值，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線(xiàn)計(jì)算即可求出k；
（3）判斷出B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，然后根據(jù)直線(xiàn)解析式求解即可；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出直線(xiàn)在拋物線(xiàn)上方部分的x的取值范圍即可．

解答 解：（1）y=kx+2k+2=k（x+2）+2，
當(dāng)x+2=0，即x=-2時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
此時(shí)，y=2，
所以，A（-2，2），
將點(diǎn)A代入a•（-2）²=2，
解得a=$\frac{1}{2}$；

（2）拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²，
x=1時(shí)，b=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$，
所以，點(diǎn)B（1，$\frac{1}{2}$），
將點(diǎn)B代入直線(xiàn)得，k+2k+2=$\frac{1}{2}$，
解得，k=-$\frac{1}{2}$；

（3）拋物線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x²的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，
y=當(dāng)x=-1時(shí)，c=$\frac{1}{2}$×（-1）²=$\frac{1}{2}$，
所以，點(diǎn)C（-1，$\frac{1}{2}$），
所以，點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
由軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
由（2）知，直線(xiàn)AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
令x=0，則y=1，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）；

（4）由圖可知，-2＜x＜1時(shí)，ax²＜kx+2k+2．
故答案為：-2＜x＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的求法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，二次函數(shù)與不等式，難點(diǎn)在于（1）整理成關(guān)于k的形式，（3）確定出點(diǎn)P的位置．