Question

4．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，其圖象頂點為D，已知點C的坐標(biāo)為（0，3），點D的坐標(biāo)為（2，-1）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）試問△ABD與△BCO是否相似？并證明你的結(jié)論；
（3）已知P是此二次函數(shù)圖象上的點，且∠PAB=∠ACB，試求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用頂點式求出函數(shù)解析式，即可得解；
（2）由（1）中的二次函數(shù)解析式即可求得點C、D的坐標(biāo)．然后根據(jù)兩點間的距離公式、勾股定理以及等腰三角形的判定推知△ABD和△BCO都是等腰直角三角形，所以它們相似；
（3）首先求出tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得出過A（1，0）的直線為y=±$\frac{1}{2}$（x-1），將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象過點C的坐標(biāo)為（0，3），頂點D的坐標(biāo)為（2，-1）．
∴設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-2）²-1，
將（0，3）代入得：
3=4a-1，
解得：a=1，
故拋物線解析式為：y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；

（2）△ABD與△BCO相似．
理由如下：如圖，
∵由（1）知，該拋物線的解析式是y=x²-4x+3=（x-2）²-1．
故C（0，3），D（2，-1）．
∵OC=OB=3，
∴△BCO是等腰直角三角形．
又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，-1），
∴AD=BD=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AB²=AD²+BD²
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴△ABD與△BCO相似；

（3）如圖，延長CA，并過B點做垂直于CA的直線與CA相交與E點，
∵∠CAO=∠BAE，
∠COA=∠BEA，
∴△COA∽△BEA，
∴$\frac{CA}{BA}$=$\frac{CO}{BE}$=$\frac{OA}{EA}$，
根據(jù)勾股定理，CA=$\sqrt{10}$，
則EA=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，EB=$\frac{6}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
tan∠ACB=$\frac{BE}{AC+AE}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠APB=∠ACB，
則tan∠APB=$\frac{1}{2}$，
令過A（1，0）的直線為y=k（x-1），
∵∠PAB=∠ACB，
故k=±tan∠ACB=±$\frac{1}{2}$，
故：y=±$\frac{1}{2}$（x-1），
分別與y=x²-4x+3聯(lián)立得：$\frac{1}{2}$（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{7}{2}$，
∴y₁=0，y₂=-$\frac{3}{4}$，
-$\frac{1}{2}$（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{5}{2}$，
∴y₁=0，y₂=$\frac{5}{4}$，
∵A點坐標(biāo)為：（1，0），
綜上所述：符合題意的點的坐標(biāo)為：P（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及兩函數(shù)交點坐標(biāo)求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出過點A符合要求的直線解析式是解題關(guān)鍵．