Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，角平分線AE，BD相交于M，點O在AB邊上，以OB為半徑的圓恰好經(jīng)過點M，且與AB相交于另一點F．
（1）判斷AE與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）當BC=4，cosC=$\frac{1}{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OM．利用角平分線的性質和平行線的性質得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線；
（2）通過解直角三角形求得AB=6，設⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質得到 $\frac{R}{2}$=$\frac{6-R}{6}$，即可解得R=$\frac{3}{2}$，從而求得⊙O的半徑為$\frac{3}{2}$．

解答 （1）證明：連接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切線；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵cosC=$\frac{1}{3}$，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，
∵CE=BE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=6，
設⊙O的半徑為R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$即 $\frac{R}{2}$=$\frac{6-R}{6}$，
解得R=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大．