Question

13．已知x₁，x₂是方程x²-2（k+1）x+4k=0的兩根，且-$\frac{3}{2}$＜x₁＜$\frac{1}{2}$．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)二次函數(shù)y=x²-2（k+1）x+4k的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若OM=OB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先求出方程的兩個(gè)根，由已知條件即可得出k的取值范圍；
（2）分兩種情況：①若A（2k，0），B（2，0），由OM=OB得出方程|4k|=2，解方程即可；
②若B（2k，0），A（2，0），得出方程|4k|=|2k|，解方程即可．

解答 解：（1）∵x²-2（k+1）x+4k=0，
∴（x-2）（x-2k）=0，
∴x₁=2k，x₂=2，
又∵-$\frac{3}{2}$＜x₁＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜2k＜$\frac{1}{2}$，即-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{1}{4}$；
（2）分兩種情況：
①若A（2k，0），B（2，0），
∴OB=2，
又∵M(jìn)在y軸上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)（0，4k），
∴OM=|4k|，
又∵OM=OB，
∴|4k|=2，
解得：k=±$\frac{1}{2}$，
又∵-$\frac{3}{4}$＜k＜$\frac{1}{4}$，
∴k=-$\frac{1}{2}$；
②若B（2k，0），A（2，0），
則|4k|=|2k|，
解得：k=0；
綜上所述：若OM=OB，k的值為-$\frac{1}{2}$或0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根、拋物線與x軸的交點(diǎn)特征；本題有一定難度，特別是（2）中，需要進(jìn)行分類討論，避免漏解．