Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交y軸與點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且△ABC的面積為12．
（1）如圖1，求直線AC的解析式；
（2）如圖2，若CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D，求線段AD的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，將△ADE及直線AC均水平向右平移m個(gè)單位得到△A′D′E′及直線A′C′，點(diǎn)P在直線A′C′上，且P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{30}{11}$，當(dāng)PD′+PE′的值最小時(shí)，求m的值及這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）先求的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)△ABC的面積為12可求得BC的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求得AC的解析式即可；
（2）證明∠DCO=∠BAO，然后根據(jù)$\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OA}$可求得OD的長(zhǎng)，從而得到AD的長(zhǎng)；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥AD，垂足為H．首先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求得直線EF的解析式，接下來求得EF與AC的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)平移的性質(zhì)可求得m的值，由平移的性質(zhì)可知PD′+PE′的最小值等于EF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）令直線y=2x+4的y=0得：2x+4=0，解得x=-2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）．
令直線y=2x+4的x=0得y=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）．
∵△ABC的面積為12，
∴$\frac{1}{2}BC•OA=12$，即$\frac{1}{2}×4×BC=12$．
解得：BC=6．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x+4．
（2）∵CE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠AED=∠DOC=90°．
∵∠ADE=∠ODC
∴∠BAO=∠BCE．
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}$．
∴OD=2．
∴AD=2．
（3）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥AD，垂足為H．

∵點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4）．
∵tan∠EAD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴$\frac{ED}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴ED=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△EHD中，EH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ED=$\frac{4}{5}$．HD=$\frac{\sqrt{5}}{5}ED$$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{5}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-0.8，2.4）．
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-0.8a+b=2.4}\\{2a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{7}}\\{b=\frac{20}{7}}\end{array}\right.$．
∴直線EF的解析式為y=$\frac{4}{7}x+\frac{20}{7}$．
將y=$\frac{4}{7}x+\frac{20}{7}$與y=-x+4聯(lián)立，解得x=$\frac{8}{11}$．
設(shè)平移的距離為m個(gè)單位，
∴$\frac{8}{11}+m$=$\frac{30}{11}$．
解得：m=2．
由平移的性質(zhì)可知：PD′+PE′=EF=$\sqrt{[2-（-0.8）^{2}+（4-2.4）^{2}}$=4$\sqrt{65}$．
答：m=2，PD′+PE′的最小值為4$\sqrt{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、軸對(duì)稱路徑最短問題、平移的性質(zhì)求得平以前EF與AC的交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．