Question

2．以矩形OABC的OC邊所在直線為x軸，OA邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系如圖所示，已知OA=8，OC=10，將矩形OABC沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸上的點E處．
（1）求點E的坐標；
（2）求直線AD的解析式；
（3）x軸上是否存在一點P，使得△PAD的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求OE的長可得E的坐標；
（2）先根據(jù)折疊設未知數(shù)，利用勾股定理列方程可求CD的長，得D的坐標，利用待定系數(shù)法求直線AD的解析式；
（3）根據(jù)軸對稱的最短路徑，作A關于點O的對稱點A'（0，-8），連接A'D交x軸于P，此時△PAD的周長最小，利用待定系數(shù)法求直線A‘D的解析式，令y=0代入可得P的坐標．

解答 解：（1）由折疊得：AB=AE=10，
∵∠AOC=90°，OA=8，
∴OE=6，
∵E（6，0）；
（2）EC=OC-OE=10-6=4，
設DB=x，則DE=BD=x，DC=8-x，
Rt△EDC中，由勾股定理得：DE²=DC²+EC²，
∴x²=（8-x）²+4²，
x=5，
∴DC=8-5=3，
∵D（10，3），
設直線AD的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+8；
（3）存在，作A關于點O的對稱點A'（0，-8），
連接A'D交x軸于P，此時△PAD的周長最小，
設直線A'D的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{10}}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=$\frac{11}{10}$x-8；
當y=0時，x=$\frac{80}{11}$，
∴P（$\frac{80}{11}$，0）．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質、圖形與坐標特點、勾股定理、折疊的性質、利用待定系數(shù)法求直線的解析式；難度適中，熟練掌握折疊的性質是關鍵．