Question

7．拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)C（2，m），交y軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值；
（3）點(diǎn)M（m，-3）是拋物線上一點(diǎn)，問在直線AC上是否存在點(diǎn)F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式．
（2）PE的長實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，用x分別表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于PE的長、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值．
（3）根據(jù)點(diǎn)F的不同位置分類討論．

解答 解：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，
得b=-2，c=-3；
∴y=x²-2x-3．
將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，∴C（2，-3）；
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1．
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴當(dāng)x=1/2時(shí)，PE的最大值=$\frac{9}{4}$．
（3）①當(dāng)點(diǎn)F在D點(diǎn)時(shí)，
將直線和拋物線的解析式組成方程組：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-3），
令x=0，y=x²-2x-3=-3，
∴M的坐標(biāo)為（0，-3）
由直線的解析式可求點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．-1）
∴MC=2，MD=3-1=2，
∵M(jìn)C∥y軸，
∴∠CMD=90°，
即△CMD是等腰直角三角形，
∴當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，△CMD是等腰直角三角形．
②當(dāng)F在P點(diǎn)時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)E是頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可得PM=PC，
由拋物線的解析式可得對稱軸為x=-1，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）
∴PC=MP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵M(jìn)C=2，
∴PC²+PM²=MC²，
由勾股定理的逆定理可得：△PMC為等腰直角三角形．
即△FMC為等腰直角三角形．
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2）．
③當(dāng)F不在P、D點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)F（x，-x-1），
則CM=CF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（-x-1+3）^{2}}$=2
即（x-2）²+（-x-3+3）²=4
解得：x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
∴F（2+$\sqrt{2}$，-3-$\sqrt{2}$ ）或F（2-$\sqrt{2}$，-3+$\sqrt{2}$ ）．
當(dāng)F（2+$\sqrt{2}$，-3-$\sqrt{2}$ ）時(shí)，F(xiàn)M=$\sqrt{8+2\sqrt{2}}$，
∴CM²+CF²≠M(fèi)F²，不能構(gòu)成直角三角形，
同理：當(dāng)F（2-$\sqrt{2}$，-3+$\sqrt{2}$ ）時(shí)，也不能構(gòu)成直角三角形．
綜上所述，存在點(diǎn)F為（1，-2）時(shí)．使△CMF是等腰直角三角形

點(diǎn)評 此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的應(yīng)用，第（3）題應(yīng)將所有的情況都考慮到，不要漏解．