Question

9．如圖，直線y=x+4與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A（-1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PB的值最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)B為直線與雙曲線的交點(diǎn)，先求得雙曲線的解析式，通過(guò)解方程組即可得到交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C（1，3），連接BC交y軸于點(diǎn)P，則此時(shí)PA+PB的值最小．根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線y=x+4，可得-1+4=a，
解得a=3，
∴A（-1，3），
把A（-1，3）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，可得3=-k，
∴k=-3，
∴y=-$\frac{3}{x}$，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）；

（2）作出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C（1，3），連接BC交y軸于點(diǎn)P，則此時(shí)PA+PB的值最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
把B，C的坐標(biāo)代入，得$\left\{\begin{array}{l}{1=-3m+n}\\{3=m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
令x=0，則y=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{2}$），
故存在點(diǎn)P（0，$\frac{5}{2}$），使PA+PB的值最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)注意：一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解即可．