Question

4．如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則$\frac{AM}{CN}$的值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 在Rt△ECN中，利用勾股定理與折疊性質(zhì)，求出CN的長度；過點M作MG⊥CD于點C，證明△MNG≌△DEC，得到GN=CE，從而求出DG，即AM的長度，于是得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)CN=xcm，則DN=（8-x）cm．
由折疊可知，EN=DN=（8-x）cm．
在Rt△ECN中，CE=4cm，CN=xcm，EN=（8-x）cm，
由勾股定理得：EN²=CN²+CE²，即（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴CN=3cm；
如圖，過點M作MG⊥CD于點G，則由題意可知AM=DG，MG=BC=CD．
連接DE，交MG于點I．
由折疊可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE=90°，
∵∠DIG+∠EDC=90°，∠MIE=∠DIG（對頂角相等），
∴∠NMG=∠EDC．
在△MNG與△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NMG=∠EDC}\\{MG=CD}\\{∠MGN=∠DCE=90°}\end{array}\right.$，
∴△MNG≌△DEC（ASA）．
∴GN=CE=4cm，
∴DG=CD-CN-GN=8-3-4=1cm．
∴AM=DG=1cm．
∴$\frac{AM}{CN}$的值是$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 考查了翻折問題，翻折問題關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)重合的量，哪些邊、角是相等的．本題中DN=EN是解題關(guān)鍵，再利用勾股定理、全等三角形的知識就迎刃而解．