Question

18．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連接BF、DE、BO．
（1）求證：OE=OF；
（2）若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC．求證：四邊形EBFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）只要證明△FCO≌△EAO即可解決問(wèn)題；
（2）首先證明四邊形BEDF是平行四邊形，再證明BE=BF即可解決問(wèn)題；

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO=∠EAO，
在△FCO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠EAO}\\{OC=OA}\\{∠FOC=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△FCO≌△EAO，
∴OF=OE．

（2）∵△FCO≌△EAO，
∴CF=AE，
∵CD=AB，
∴DF=BE，
∵DF∥EB，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵△ABC是直角三角形，OA=OC，
∴OB=OC，∵∠COB=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴BC=BO
∵OF=FC，F(xiàn)B=FB，
∴△BFO≌△BFC，
∴∠BOF=∠BCF=90°，
∵OE=OF，BO⊥EF，
∴BE=BF，
∴四邊形BEDF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，正確尋找全等三角形，屬于中考�？碱}型．