Question

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為R．已知BC=a，AC=b，AB=c．
（1）過點(diǎn)B作⊙O的直徑BD，連接CD，若a=3，CD=4，請(qǐng)直接寫出sinD的值，并求$\frac{a}{sinA}$-2R的值．
（2）類比（1）的解答過程，證明：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sin∠ABC}$．
（3）由上述結(jié)論猜想在△ABC$；\\;中$中，a，b，c與三個(gè)內(nèi)角的正弦函數(shù)值之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠BCD=90°，∠A=∠D，在Rt△BCD中，由三角函數(shù)定義得出sinD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{a}{2R}$，得出$\frac{a}{sinD}$=2R，因此$\frac{a}{sinA}$=2R，代入所求，即可得出答案；
（2）由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，同理：$\frac{sin∠ABC}$=2R，即可得出結(jié)論．
（3）由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，同理：$\frac{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，sinD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{a}{2R}$，
∴$\frac{a}{sinD}$=2R，
∵∠A=∠D，
∴sinA=sinD，
∴$\frac{a}{sinA}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$-2R=2R-2R=0；

（2）證明：由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，
同理：$\frac{sin∠ABC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sin∠ABC}$．

（3）解：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$；理由如下：
由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，同理：$\frac{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、三角函數(shù)的定義以及圓的性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和三角函數(shù)定義是解決問題的關(guān)鍵．