Question

15．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一動點(diǎn)，設(shè)BF=t（0≤t≤2），線段EF的垂直平分線GH分別交邊CD，AB于點(diǎn)G，H，過E做EM⊥BC于點(diǎn)M，過G作GN⊥AB于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)t≠2時(shí)，求證：△EMF≌△GNH；
（2）順次連接E、H、F、G，設(shè)四邊形EHFG的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）只要證明EM=GN，∠1=∠2，即可利用ASA證明．
（2）根據(jù)S=$\frac{1}{2}$•EF•GH計(jì)算，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，EM⊥BC，GN⊥AB，
∴EM=GN=AB=AD，
∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△EMF和△GNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EM=GN}\\{∠ENF=∠GNH}\end{array}\right.$，
∴△EMF≌△GNH．

（2）∵△EMF≌△GNH，
∴EF=GH，
∵BF=t，BM=2，
∴FM=2-t，
∴EF²=4²+（2-t）²，
∵S=$\frac{1}{2}$•EF•GH=$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∵0≤t≤2，
∴t=2時(shí)，S有最小值，最小值為8．

點(diǎn)評 本題科學(xué)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)、二次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，記住對角線垂直的四邊形的面積的計(jì)算方法，學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．