Question

5．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，頂點(diǎn)到x軸的距離為3，拋物線與x軸交于原點(diǎn)O（0，0）及點(diǎn)A，且OA=4．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到OA′，作A′E⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AE，OA′交于點(diǎn)F．
①試判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上，說明理由．
②求△A′EF與△OAF的面積之比．

Answer 1

分析 （1）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3，由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，進(jìn)而求出a的值即可；
（2）①設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），先求出直線OA′的解析式，根據(jù)OA′=OA=4，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上；
②先求出A′E的長，利用△A′EF∽OAF求出△A′EF與△OAF的面積之比．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3，
由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
即4a+3=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$．
故拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；
（2）①設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），
則直線OA′的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x①，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OA′=OA=4，
即x²+y²=16②，
由①②可得x=2$\sqrt{3}$，y=2，
即點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2），
把點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2）代入解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；
2≠-$\frac{3}{4}$（2$\sqrt{3}$-2）²+3，
即點(diǎn)A′是不在該拋物線上；
②如圖，
∵∠A′OA=30°，
∴∠OA′E=30°，
∵OA′=OA=4，
∴A′E=cos30°×4=2$\sqrt{3}$，
∵A′E∥OA，
∴∠A′EF=∠OEF，∠EA′F=∠AOF，
∴△A′EF∽OAF，
∴$\frac{{S}_{△A′EF}}{{S}_{△OAF}}=（\frac{EA′}{OA}）^{2}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解答（2）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A′坐標(biāo)以及求出A′E的長度，此題難度一般．