Question

16．如圖1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC內(nèi)部一點，∠ADC=135°，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接DE；
（1）①依據(jù)題意補全圖形；②請判斷∠ADC和∠CDE之間的數(shù)量關(guān)系為∠ADC+∠CDE=180°；
（2）在（1）的條件下，連接BE，過點C作CM⊥DE，請判斷線段CM、AE和BE之間的敦量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（1）的條件下，若AD=1，CD=$\sqrt{2}$，BC邊的中點為P，點G是線段DE上一個動點，當△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，則PG的最小值為0；PG的最大值為$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意補全圖形即可；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可解答；
（2）線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM，理由如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明A、D、E三點在同一條直線上，得到AE=AD+DE．再證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．又CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM，所以AE=BE+2CM．
（3）先構(gòu)造出直角三角形求出AC，即可得出CP的值，再求出點C到線段DE的最大值和最小值，進而得出點C到DE的最小值＜CP＜點C到DE的最大值，即可確定出PG的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖所示：

②∠ADC+∠CDE=180°．
理由：∵線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
故答案為：∠ADC+∠CDE=180°；

（2）線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三點在同一條直線上．
∴AE=AD+DE．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．
∴DE=2CM．
∴AE=BE+2CM．

（3）如圖1，

將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG，
連接DG，CG，
∴∠DAG=90°，AG=AG=1，
∴DG=$\sqrt{2}$，∠ADG=∠AGD=45°，
∵∠ADC=135°，
∴∠CDG=90°，
在Rt△CDG中，DG=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴CG=2，∠DGC=45°，
∴∠AGC=∠AGD+CGD=90°，
在Rt△ACG中，根據(jù)勾股定理得，AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BC=AC=$\sqrt{5}$，
∵點P是BC的中點，
∴CP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
如圖2，

過點C作CM⊥AE，
∵線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴DE=$\sqrt{2}$CD=2，
∴CM=$\frac{1}{2}$DE=1，
∴△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，線段DE上點到點C的距離的范圍為大于等于1，小于等于$\sqrt{2}$，
∵1＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜$\sqrt{2}$，
∴△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，線段DE上存在點必過BC的中點P，所以PG的最小值為0，
當△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD（或CE）在BC的延長線時，點D（或E）到點P的距離為CD（或CE）+CP=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即：PG最大為$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為0，$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和旋轉(zhuǎn)，勾股定理，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ACD≌△BCE，解（3）的關(guān)鍵是求出AC的長，是一道難度比較大的中考常考題．