Question

7．如圖，∠MON=30°，點(diǎn)A、B分別在射線OM，ON上，且AB=6，∠AB0≤90°，在線段OB上取點(diǎn)C，使得∠CAB=∠MON．
（1）當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求OA的長(zhǎng)；
（2）求BC的取值范圍；
（3）OA長(zhǎng)是BC長(zhǎng)的函數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)求出其函數(shù)關(guān)系式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形討論即可．①如圖1中，當(dāng)AC=CB時(shí)．②如圖2中，當(dāng)AC=AB=6時(shí)．分別求解即可；
（2）由△ABC∽△OBC，推出AB²=BC•OB，可得BC•OB=36，因?yàn)椤螦BC≤90°，可知當(dāng)AB⊥OB時(shí)，可得OB的最小值為6$\sqrt{3}$，當(dāng)BA⊥OA時(shí)，可得OB的最大值為12，即可推出BC的最大值為2$\sqrt{3}$，最小值為3；
（3）AC不是BC的函數(shù)．如圖4中，設(shè)OA=y，BC=x．作AH⊥OB于H．求出y與x的關(guān)系式即可判斷．

解答 解：（1）①如圖1中，當(dāng)AC=CB時(shí)，

易知∠CAB=∠CBA=∠AOB=30°，
∴OA=AB=6．
②如圖2中，當(dāng)AC=AB=6時(shí)，作CH⊥OA于H．

∵∠CAB=∠MON=30°
∴∠ACB=75°=∠O+∠OAC，
∴∠OAC=45°，
在Rt△ACH中，∵AC=6，∠CAH=∠ACH=45°，
∴AH=CH=3$\sqrt{2}$，
在Rt△OCH中，OH=$\sqrt{3}$CH=3$\sqrt{6}$，
∴OA=OH+AH=3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．
∵∠ABC≤90°，∴BC≠BA
綜上所述，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，OA的長(zhǎng)為6或3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．


（2）如圖3中，

∵∠CAB=∠AOB，∠ABC=∠ABO，
∴△ABC∽△OBC，
∴AB²=BC•OB，
∴BC•OB=36，
∵∠ABC≤90°，
∴當(dāng)AB⊥OB時(shí)，可得OB的最小值為6$\sqrt{3}$，當(dāng)BA⊥OA時(shí)，可得OB的最大值為12，
∴BC的最大值為2$\sqrt{3}$，最小值為3，
∴2≤BC≤2$\sqrt{3}$．


（3）OA不是BC的函數(shù)．理由如下：
如圖4中，設(shè)OA=y，BC=x．作AH⊥OB于H．

∵AB²=BC•OB，
∴OB=$\frac{36}{x}$，
在Rt△AOH中，∵OA=y．∠AOH=30°，
∴AH=$\frac{y}{2}$，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
在Rt△AHB中，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{36-（\frac{y}{2}）^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$y+$\sqrt{36-\frac{{y}^{2}}{4}}$=$\frac{36}{x}$，
對(duì)于x的一個(gè)確定的值，y可能有兩個(gè)值和x對(duì)應(yīng)，
∴y不是x的函數(shù)，
∴AC不是BC的函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．