Question

13．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，△DEF的頂點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上．
（1）如圖1，若AC=BC=4，∠EDF=90°，則EC+CF=4（填數(shù)值）；
（2）如圖2，若∠EDF=90°，△ACB和△DEF相似嗎？若相似，請(qǐng)給出證明，若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若BC=4，∠DEF=90°，且tan∠EDF=2，設(shè)AC=x（8≤x≤10），△DEF的面積為S，寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）連接CD，如圖1，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CD⊥AB，CD=AD=BD，CD平分∠ACB，然后證明△ADE≌△CDF得到AE=CF，從而得到EC+CF=AC=4；
（2）作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，如圖2，先證明Rt△DEG∽R(shí)t△DFH得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DG}{DH}$，再利用三角形中位線性質(zhì)得DG=$\frac{1}{2}$BC，DH=$\frac{1}{2}$AC，則$\frac{DG}{DH}$=$\frac{BC}{AC}$，所以$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BC}{AC}$，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△EDF∽△BCA；
（3）作DM⊥AC于M，如圖3，先證明Rt△DME∽R(shí)t△ECF得到$\frac{DM}{CE}$=$\frac{DE}{EF}$，再得到DM=$\frac{1}{2}$BC=2，AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x，接著根據(jù)正切的定義得到tan∠DEF=$\frac{EF}{DE}$=2，即EF=2DE，于是可計(jì)算出CE=4，則ME=$\frac{1}{2}$x-4，利用勾股定理可得到DE²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4，然后利用三角形面積公式得到S=DE²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4（8≤x≤10），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

解答 解：（1）連接CD，如圖1，
∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∵D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，CD平分∠ACB，
∴∠A=45°，∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠EDF=90°，即∠EDC+∠FDC=90°，
而∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4；
故答案為4；
（2）相似．
作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，如圖2，易得四邊形DGCH為矩形，
∴∠GDH=90°，即∠GDF+∠FDH=90°，
∵∠EDF=90°，即∠EDG+∠GDF=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
∴Rt△DEG∽R(shí)t△DFH，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DG}{DH}$，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC，DH=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{DG}{DH}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{DE}{BC}$=$\frac{DF}{AC}$，
而∠EDF=∠C=90°，
∴△EDF∽△BCA；
（3）作DM⊥AC于M，如圖3，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEM+∠CEF=90°，
而∠DEM+∠DME=90°，
∴∠CEF=∠DME，
∴Rt△DME∽R(shí)t△ECF，
∴$\frac{DM}{CE}$=$\frac{DE}{EF}$，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=2，AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x，
∵tan∠DEF=$\frac{EF}{DE}$=2，即EF=2DE，
∴$\frac{DM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=4，
∴ME=MC-CE=$\frac{1}{2}$x-4，
在Rt△DME中，DE²=2²+（$\frac{1}{2}$x-4）²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4，
∴S=$\frac{1}{2}$DE•EF=$\frac{1}{2}$DE•2DE=DE²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4（8≤x≤10），
當(dāng)x＞8時(shí)，S隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=10時(shí)，S取最大值，最大值為$\frac{1}{4}$（10-8）²+4=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；通過(guò)作平行線構(gòu)建相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)學(xué)會(huì)用代數(shù)式表示線段之間的關(guān)系．