Question

5．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°到△AB′C′的位置，連接C′B．
（1）請(qǐng)你在圖中把圖補(bǔ)畫(huà)完整；
（2）求C′B的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）連接BB′，延長(zhǎng)BC′交AB′于點(diǎn)M；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到得到∠MBB′=∠MBA=30°；求出BM、C′M的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1所示，
（2）如圖2，連接BB′，延長(zhǎng)BC′交AB′于點(diǎn)M；
由題意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′為等邊三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′與△B′BC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC′=B′C′}\\{AB=B′B}\\{BC′=BC′}\end{array}\right.$，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由題意得：AB²=16，
∴AB′=AB=4，AM=2，
∴C′M=$\frac{1}{2}$AB′=2；由勾股定理可求：BM=2$\sqrt{3}$，
∴C′B=2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．