Question

9．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，∠AOB=36°，AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E，若AC=4，則AB的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$-2
• B． 5-$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． 4-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 如圖，設(shè)AB=x．首先證明AB=AE=OE=x，再證明△BAE∽△BOA，可得AB²=BE•BO，可得x²=2（2-x），求出x即可．

解答 解：如圖，設(shè)AB=x．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∵∠AOB=36°，AE平分∠BAO，
∴∠OAB=∠OBA=72°，∠BAE=∠EAO=36°，
∴∠ABE=∠AEB=72°，
∴AB=AE=OE=x，
∴∠BAE=∠BOA，
∵∠ABE=∠ABO，
∴△BAE∽△BOA，
∴AB²=BE•BO，
∴x²=2（2-x），
∴x²+2x-4=0，
∴x=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$（舍棄），
∴AB=$\sqrt{5}$-1，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．