Question

1．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由；
（3）（1）中拋物線在第二象限的圖象是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交點(diǎn)式可直接得到拋物線的解析式；
（2）先確定C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，連接BC交直線x=-1于Q，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題得到此時(shí)QA+QC的值最小，從而確定此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+3，然后計(jì)算自變量為-1時(shí)的一次函數(shù)值即可得到滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過(guò)PD∥y軸交BC于P，如圖，設(shè)P（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），則D（x，x+3），則PD可表示為-x²-3x，利用三角形面積公式得到S_△PBC=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=-（x-1）（x+3），
即y=-x²-2x+3；
（2）存在．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²-2x+3=3，則C（0，3），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
連接BC交直線x=-1于Q，如圖，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
∴QA=QB，
∴QA+QC=QB+QC=BC，
∴此時(shí)QA+QC的值最小，
∴此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=x+3=2，
∴滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）；
（3）存在．
過(guò)PD∥y軸交BC于P，如圖，
設(shè)P（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），則D（x，x+3），
∴PD=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△PBC=S_△PBD+S_△PCD=$\frac{1}{2}$•3•PD=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△PBC值最大，最大值為$\frac{27}{8}$，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．