Question

4．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A₁B₁C₁A₂與正方形A₂B₂C₂A₃是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)A₁，A₂，A₃在x軸上，延長A₃C₂交射線OB₁于點(diǎn)B₃，以A₃B₃為邊長作正方形A₃B₃C₃A₄；延長A₄C₃交射線OB₁于點(diǎn)B₄，以A₄B₄為邊長作正方形A₄B₄C₄A₅…，若OA₁=2，則正方形A_nB_nC_nA_n+1的面積為（　�。�

• A． 2n
• B． 2ⁿ
• C． 2ⁿ⁺¹
• D． 4ⁿ

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OA₁=2，求得OA₂=4，得到A₁A₂=2，求得正方形A₁B₁C₁A₂的面積=2×2=4，推出∠B₁OA₁=45°，得到OA₂=A₂B₂=4，求得正方形A₂B₂C₂A₃的面積=4×4=4²，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OA₃=A₃B₃=8，求得正方形A₃B₃C₃A₄的面積=8×8=64=4³，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵正方形A₁B₁C₁A₂與正方形A₂B₂C₂A₃是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵A₁B₁⊥x軸，A₂B₂⊥x軸，
∴A₁B₁∥A₂B₂，
∴OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA₁=2，
∴OA₂=4，
∴A₁A₂=2，
∴正方形A₁B₁C₁A₂的面積=2×2=4，
∵OA₁=A₁A₂=A₁B₁=2，
∴∠B₁OA₁=45°，
∴OA₂=A₂B₂=4，
∴正方形A₂B₂C₂A₃的面積=4×4=4²，
∵A₃B₃⊥x軸，
∴OA₃=A₃B₃=8，
∴正方形A₃B₃C₃A₄的面積=8×8=64=4³，
…
∴正方形A_nB_nC_nA_n+1的面積=4ⁿ，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了位似變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．