Question

9．如圖，矩形OABC中，OA=3，OC=5，OA，OC分別在x軸，y軸上，D是邊CB上的一個動點(diǎn)（不與C，B重合），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）若△BDE的面積為$\frac{10}{3}$，求k的值；
（2）設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，求證：m為定值；
（3）是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)在OC上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先用k表示出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出BD，BE，用三角形BDE的面積建立方程求解即可；
（2）將點(diǎn)D，E的坐標(biāo)代入直線y=mx+n中，即可求出m的值；
（3）根據(jù)對稱性先求出點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)，進(jìn)而得出BB'的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線DE的解析式中即可求出n即可．

解答 解：（1）由題意知，B（3，5），D（$\frac{k}{5}$，5），E（3，$\frac{k}{3}$），
∴BD=3-$\frac{k}{5}$，BE=5-$\frac{k}{3}$，
∵S_△BDE=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$（3-$\frac{k}{5}$）（5-$\frac{k}{3}$）=$\frac{10}{3}$，
∴k=25或k=5，
即：k=25或k=5；
（2）由（1）知，D（$\frac{k}{5}$，5），E（3，$\frac{k}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{5}m+n=5}\\{3m+n=\frac{k}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{k-15}{5}m=\frac{15-k}{3}$，
∵k≠15，
∴m=-$\frac{5}{3}$，
即：m是定值；

（3）存在，
理由：如圖，由（2）知，m是定值-$\frac{5}{3}$，
∴直線DE的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+n，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為B'，
∴直線BB'的解析式為y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{16}{5}$，
∴B'（0，$\frac{16}{5}$），
∴BB'的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{41}{10}$），而B'，B關(guān)于直線DE對稱，
∴點(diǎn)M在直線DE上，
∴$\frac{41}{10}=-\frac{5}{3}×\frac{3}{2}$+n，
∴n=$\frac{33}{5}$，
∴直線DE的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{33}{5}$，
當(dāng)y=5時，x=$\frac{24}{25}$，
∴D（$\frac{24}{25}$，5）．

點(diǎn)評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，對稱性，解（1）的關(guān)鍵是建立方程求解，解（2）的關(guān)鍵是解不定方程，解（3）的關(guān)鍵是利用對稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，是一道中等難度的題目．