Question

3．如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作直線L，過A，C，D作L的垂線．垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G．若AE=2，CF=6，則CF+AE+DG的值為12．

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DH⊥CF，垂足為H，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABE與△BCF全等，AE=BF=2，再證明△BCE與△CDH全等，得到CH=BF=2，然后證明四邊形FHDG是矩形，得到DG=FH=4，從而求得DG的值，即可得解．

解答 解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥CF，垂足為H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CBF+∠FBA=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF．
在△ABE與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC=90°}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF+∠DCH=90°，∠HDC+∠DCH=90°，
∴∠BCF=∠HDC，
在△BCE與△CDH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠HDC}\\{∠BFC=∠DHC=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CDH（AAS）
∴CH=BF=2
∴FH=CF-CH=6-2=4．
∵CF⊥L，DG⊥L，DH⊥CF，
∴∠BFC=∠DHC=∠DGB=90°，
∴四邊形FHDG是矩形，
∴DG=FH=4，
即CF+AE+DG=6+2+4=12．
故答案填12．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，靈活運(yùn)用三角形的判定方法，尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解決問題的關(guān)鍵．