Question

4．如圖，點(diǎn)B在AD上，△ABC和△BDE是等邊三角形，CD交BE于點(diǎn)M，AE交BC，CD于點(diǎn)N，O，連接MN．
（1）求證：AE=CD；
（2）求∠EOC的度數(shù)；
（3）求證：MN∥AD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出AB=CB、EB=DB、∠ABC=∠DBE=60°，由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠ABE=∠CBD=120°，由此即可證出△BAE≌△BCD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AE=CD；
（2）由△BAE≌△BCD可得出∠CDB=∠AEB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求出∠AOC=60°，再由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求出∠EOC的度數(shù)；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算可得出∠EBC=∠DBE=60°，從而可證出△BDM≌△BEN（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出BM=BN，進(jìn)而可得出△BMN為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出∠BMN=60°=∠DBE，再由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可證出MN∥AD．

解答 （1）證明：∵△ABC和△BDE是等邊三角形，
∴AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD=120°．
在△BAE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCD（SAS），
∴AE=CD．

（2）解：∵△BAE≌△BCD，
∴∠CDB=∠AEB．
∵∠DBE=60°，
∴∠DAE+∠AEB=60°，
∴∠DAE+∠ADC=60°，
∴∠AOC=∠DAE+∠ADC=60°，
∴∠EOC=120°．

（3）證明：∵∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠EBC=60°，
∴∠EBC=∠DBE．
在△BDM和△BEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠EBN}\\{DB=EB}\\{∠BDM=∠BEN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△BEN（ASA），
∴BM=BN，
∴△BMN為等邊三角形，
∴∠BMN=60°=∠DBE，
∴MN∥AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、鄰補(bǔ)角以及平行線的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）利用SAS證出△BAE≌△BCD；（2）通過角的計(jì)算求出∠AOC=60°；（3）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合∠BMN=60°，找出△BMN為等邊三角形．