Question

3．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．

Answer 1

分析 （1）易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)解析式，把D坐標(biāo)代入即可．自變量的取值范圍是點(diǎn)A、B之間的數(shù)．
（2）設(shè)出所求函數(shù)解析式，讓它與二次函數(shù)組成方程組，消除y，讓跟的判別式為0，即可求得一次函數(shù)的比例系數(shù)k．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：A（-1，0），B（3，0），
則設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
又∵點(diǎn)D（0，-3）在拋物線上，
∴a（0+1）（0-3）=-3，解之得：a=1
∴y=x²-2x-3，
自變量范圍：-1≤x≤3

（2）設(shè)過點(diǎn)D（0，-3），“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3（k≠0），
由題意可知方程組 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$只有一組解
即kx-3=x²-2x-3有兩個相等實(shí)根，
∴k=-2，
∴過點(diǎn)D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的根的判別式、二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會用 轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把相切問題轉(zhuǎn)化為方程組 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$只有一組解的問題，屬于中考�？碱}型．