Question

12．若將正整數(shù)l、2、3、…98寫在一起，則可以構(gòu)成一個新的數(shù)字12345…91011…9798．
（1）這個新數(shù)是一個幾位數(shù)？
（2）這個新數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和為多少？
（3）在黑板上寫上數(shù)l、2、3、…98，每次擦去任意的兩個數(shù)，換上這兩個數(shù)的和或差，重復(fù)這樣的操作連續(xù)若干次，直到黑板上僅留下一個數(shù)為止，這個數(shù)是否可能為2016？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）前面1到9，都是一位數(shù)，故有9位，后面接下來從10到98每個數(shù)都是兩位，總共有（98-9）×2=89×2=178位數(shù)，所以1到98總共要178+9=187位數(shù)；
（2）前面1到9位數(shù)，是1到9的和，后面接下來是10個1的和，再接下來是0到9的和，再接下來是10個2的和，再接下來是0到9的和，…，最后是10個9的和以及0到9的和，所以各個位上的數(shù)字之間和為10（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-9×2=882；
（3）根據(jù)兩個數(shù)的和和兩個數(shù)的差的奇偶性是相同的，所以若干次后剩余數(shù)的差和98個數(shù)的和的奇偶性相同，根據(jù)1、2、3、…98的和是（1+98）×98÷2=4851是奇數(shù)，2016不是奇數(shù)，所以沒有這種可能性．

解答 解：（1）9+（98-9）×2
=9+178
=187，
所以，這個新數(shù)是一個187位數(shù)；

（2）10（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-9×2
=10×45×2-18
=900-18
=882；

（3）由于兩個數(shù)的和和兩個數(shù)的差的奇偶性是相同的，
所以若干次后剩余數(shù)的差和98個數(shù)的和的奇偶性相同，
因為1+2+3+…+98=（1+98）×98÷2=4851是奇數(shù)，
2016不是奇數(shù)，所以沒有這種可能性．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生對數(shù)的構(gòu)成、對大數(shù)的認(rèn)識以及分析能力；兩個數(shù)的和和兩個數(shù)的差的奇偶性是相同的是解（3）的關(guān)鍵．