Question

18．解下列不等式：
（1）x²-7x+12＞0；
（2）-x²-2x+3≥0；
（3）x²-2x+1＜0；
（4）x²-2x+2＞0．

Answer 1

分析 （1）先將不等式左邊因式分解，得出（x-3）（x-4）＞0，再根據(jù)乘法法則得出x-3與x-4同號，再分x-3與x-4同時為正號與同時為負(fù)號兩種情況得出不等式組，解不等式組即可；
（2）先將不等式變形為x²+2x-3≤0，將左邊因式分解，得出（x-1）（x+3）≤0，再根據(jù)乘法法則得出x-1與x+3異號，再分x-1為非負(fù)數(shù)與x+3為非正數(shù)，和x-1為非正數(shù)與x+3為非負(fù)數(shù)兩種情況得出不等式組，解不等式組即可；
（3）根據(jù)完全平方公式得出原不等式即為（x-1）²＜0，根據(jù)任何一個數(shù)的平方都是一個非負(fù)數(shù)，得出原不等式無解；
（4）利用配方法得出x²-2x+2=（x-1）²+1，根據(jù)平方的非負(fù)性可知（x-1）²+1≥1＞0，進(jìn)而求出x²-2x+2＞0的解集為全體實(shí)數(shù)．

解答 解：（1）x²-7x+12＞0，
（x-3）（x-4）＞0，
可化為$\left\{\begin{array}{l}{x-3＞0}\\{x-4＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-3＜0}\\{x-4＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞4或x＜3；

（2）-x²-2x+3≥0，
即x²+2x-3≤0，
（x-1）（x+3）≤0，
可化為$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x+3≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1≤0}\\{x+3≥0}\end{array}\right.$，
解得無解或-3≤x≤1；

（3）x²-2x+1＜0，
（x-1）²＜0，
∵任何一個數(shù)的平方都是一個非負(fù)數(shù)，
∴x無解；

（4）x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵（x-1）²≥0，
∴（x-1）²+1≥1＞0，
∴x²-2x+2＞0的解集為全體實(shí)數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法．含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax²+bx+c＞0 或 ax²+bx+c＜0（a不等于0）．求一元二次不等式的解集實(shí)際上是將這個一元二次不等式的所有項(xiàng)移到不等式一側(cè)并進(jìn)行因式分解分類討論求出解集．一元二次不等式還可通過二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解．同時考查了配方法與完全平方公式．