Question

2．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，點D為AB邊上的一點，過點D作DE⊥BC于E，連接CD，過點A作AF∥DE交CD于點F，交BC于點G，連接EF．
（1）求證：△BED∽△BAC；
（2）寫出所有與△BED相似的三角形（△BAC除外）；
（3）如圖2，若四邊形ADEF是菱形，連接對角線AE與DF相交于點O．
①求證：OA²=OC•OF；
②當AE=12，CF=5時，求OF的長，并直接寫出△BED與△BAC的相似比$\frac{DE}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似即可判定．
（2）根據(jù)相似三角形的判定方法即可判斷．
（3）①只要證明△OAF∽△OCA，可得$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，由此即可證明．
②利用勾股定理求出DE、AC即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1中，

∵DE⊥BC，∠BAC=90°
∴∠BED=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B．
∴△BED∽△BAC                           
（2）結(jié)論：△BED∽△BGA，△BED∽△AGC．
理由：∵∠B=∠B，∠DEB=∠AGB=90°，
∴△BED∽△BGA．
∵∠CAG+∠ACB=90°，∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAG，
∵∠DEB=∠AGC=90°，
∴，△BED∽△AGC．


（3）①如圖2中，

∵四邊形ADEF是菱形，
∴AD=AF，AE⊥DF
∴∠1=∠2，∠AOF=90°
∴∠2+∠3=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∵∠AOC=∠AOC．
∴△OAF∽△OCA．
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，
∴OA²=OC•OF．

②設OF=x，則OC=x+5．
∵四邊形ADEF是菱形，AE=12，
∴AE⊥CD，OA=$\frac{1}{2}$AE=6，
由①可知OA²=OC•OF，列方程得：36=x（x+5），
解得：x₁=4，x₂=-9（不合題意，舍去）
∴OF的長為4．DE=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
△BED與△BAC的相似比$\frac{DE}{AC}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．