Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，M，N，E，F(xiàn)分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，求證：MN與EF互相平分．

Answer 1

分析 連接ME、EN、NF、MF，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得ME∥AB且ME=$\frac{1}{2}$AB，NF∥AB且NF=$\frac{1}{2}$AB，然后求出ME∥NF且ME=NF，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等四邊形是平行四邊形求出四邊形MENF是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分證明即可．

解答 證明：如圖，連接ME、EN、NF、MF，
∵M(jìn)，N，E，F(xiàn)分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，
∴ME∥AB且ME=$\frac{1}{2}$AB，NF∥AB且NF=$\frac{1}{2}$AB，
∴ME∥NF且ME=NF，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∴MN與EF互相平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記定理并作輔助線構(gòu)造出以MN、EF為對(duì)角線的平行四邊形是解題的關(guān)鍵．