Question

5．如圖，已知△ABC中，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中點，⊙O與AC、BC分別相切于點D與點E，點F是⊙O與AB的一個交點，連DF并延長交CB的延長線于點G．
（1）求證：點E是BC的中點；
（2）求證：BF=BG；
（3）求CG的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OEB=90°，而∠C=90°，則OE∥AC，加上O是AB的中點，于是可判斷OE為△ABC的中位線，所以點E是BC的中點；
（2）連結(jié)OD，如圖，與（1）一樣可得OD∥BC，則∠ODG=∠G，加上∠ODF=∠OFD，∠OFD=∠BFG，所以∠BFG=∠G，根據(jù)等腰三角形的判定定理可得BF=BG；
（3）由點E是BC的中點得到BE=$\frac{1}{2}$BC=3，利用∠ABC=45°得到OE=BE=3，OB=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$，則可計算出BF=OB-OF=3$\sqrt{2}$-3，然后利用（2）的結(jié)論即可得到BG的長，再計算BC與BG的和即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OE，如圖，
∵BC為⊙O的切線，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴OE∥AC，
而O是AB的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴點E是BC的中點；
（2）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AC為⊙O的切線，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODG=∠G，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
而∠OFD=∠BFG，
∴∠BFG=∠G，
∴BF=BG；
（3）解：∵點E是BC的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵AC=BC=6，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
∴OE=BE=3，
∴OB=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$，
∴BF=OB-OF=3$\sqrt{2}$-3，
∴BG=3$\sqrt{2}$-3，
∴CG=BC+BG=6+3$\sqrt{2}$-3=3+3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．