Question

10．復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=-2k²x-1+k²（k≠0）．同學(xué)們在獨立思考后，探索并寫出了與該函數(shù)有關(guān)的許多結(jié)論（性質(zhì)），教師也補充了幾條結(jié)論，現(xiàn)從中選出以下四條：
①此函數(shù)是一次函數(shù)，但不可能是正比例函數(shù)；
②此函數(shù)圖象必通過第二、四象限，且函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減��；
③若函數(shù)圖象與x軸交于點A（a，0），則a＜0.5；
④此函數(shù)圖象與直線y=4x-3、y軸圍成的三角形的面積必小于0.5
教師：請你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由．最后總結(jié)回顧并簡單寫出解決以上問題時所用的數(shù)學(xué)思想方法．

Answer 1

分析 ①通過反例即可判斷；
②根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
③先利用函數(shù)值為0可計算出a=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{k}^{2}}$，則$\frac{1}{2{k}^{2}}$＞0，a＜0.5，于是可進行判斷；
④求出直線y=-2k²x-1+k²（k≠0）和直線y=4x-3的交點坐標(biāo)，以及它們與y軸的交點坐標(biāo)，則根據(jù)三角形面積公式得到直線y=-2k²x-1+k²與直線y=4x-3、y軸圍成的面積為$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$＞0.5，即可進行判斷．

解答 解：此函數(shù)是一次函數(shù)，當(dāng)k=±1時，它是正比例函數(shù)，所以①是假命題；
∵-2k²＜0，∴此函數(shù)圖象必通過第二、四象限，且函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減小，所以②真命題；
若函數(shù)圖象與x軸交于A（a，0），令y=0，則-2k²x-1+k²=0，解得x=$\frac{{k}^{2}-1}{2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{k}^{2}}$，∵$\frac{1}{2{k}^{2}}$＞0時，∴a＜0.5，所以③是真命題；
此函數(shù)圖象與直線y=4x-3的交點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-1），此直線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，-1+k²），直線y=4x-3與y軸的交點坐標(biāo)為（0，-3），所以此函數(shù)圖象與直線y=4x-3、y軸圍成的面積=$\frac{1}{2}$•|-1+k²+3|•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$•（k²+2）=$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$＞0.5，所以④是假命題．

點評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．