Question

14．（1）如圖①，正方形ABCD①中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，延長CD到點(diǎn)C，使DG=BE，連結(jié)EF、AG，求證：EF=FG；
（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=2，AB=AC，CN=3，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明EF=FG，只需證得△FAE≌△GAF，利用該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，∵在△ABE和△ADG中，

$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ABE=∠ADG}\\{DG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG=45°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG；


（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，

$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE}\\{BM=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，

$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．
∴MN²=BM²+NC²．
∵BM=2，CN=3，
∴MN²=2²+3²，
∴MN=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形．