Question

13．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE=45°．設BE=a，DC=b，那么AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）（用含a、b的式子表示AB）．

Answer 1

分析 將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，只要證明△FAE≌△DAE，推出EF=ED，∠ABF=∠C=45°，由∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，推出ED=EF=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，可得BC=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，根據(jù)AB=BC•cos45°即可解決問題．

解答 解：將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB．
證明：∵△DAC≌△FAB，
∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，
∴∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，
在△FAE和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=FA}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△DAE，
∴EF=ED，∠ABF=∠C=45°，
∵∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，
∴ED=EF=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴BC=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴AB=BC•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）．

點評 本題考查旋轉變換、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．