Question

7．（1）如圖（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度數(shù)．
（2）圖（1）所示的圖形中，有像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，觀察“規(guī)形圖”圖（2），試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問(wèn)題：
如圖（3）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)，由∠ABD=20°，∠ACD=35°求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可得出結(jié)論；
（2）連接BC，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，同理，在△DBC中∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，由此即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)∠DAE=50°，∠DBE=130°得出∠ADB+∠AEB=80°，再由DC平分∠ADB，EC平分∠AEB可知∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ADB，∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB，故可得出∠ADC+∠AEC=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）=40°，∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．

解答 解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°，
∵∠ABD=20°，∠ACD=35°，
∴∠DBC+∠DCB=118°-20°-35°=63°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=117°；
（2）∠BDC=∠A+∠B+∠C，
理由：連接BC，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD=180°，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（3）∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB=80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ADB，∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC=$\frac{1}{2}$（∠ADB+∠AEB）=40°，
∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵，注意角平分線的定義的正確運(yùn)用．