Question

2．如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．下列結(jié)論：
（1）圖中有三對相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD²+CE²=DE²；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．
其中正確的有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析即可；
（2）可根據(jù)（1）中的相似三角形BAE和CDA得出關(guān)于AB，BE，CD，AC的比例關(guān)系，AB，AC可通過等腰直角三角形求出，因此根據(jù)比例關(guān)系即可得出m，n的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，我們知道HB⊥BD，那么DH²=BH²+BD²，而BH=CE，于是關(guān)鍵是證明HD=DE，連接AH，DH那么可通過證三角形AHD和ADE全等來求解．
（4）若△ABC固定不動，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到∠BAD≠∠CAE，于是△ABD與△ACE不一定全等，
（5）當(dāng)AF與AB重合時，AE=$\frac{1}{2}$AF，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，得到DF$≠\frac{1}{2}$AF，于是由AE與DF不一定相等；

解答 解：（1）∵△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，
∴△DAE∽△DCA，△ABO∽△ABC；
∴圖中有三對相似而不全等的三角形；故（1）正確；
（2）∵△ABE∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BA}{CD}$，
由題意可知CA=BA=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{m}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，
∴m=$\frac{2}{n}$，
∴mn=2；（1＜n＜2）；
故（2）正確；
（3）證明：將△ACE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+CE²=DH²，
即BD²+CE²=DE²；
故（3）正確；
（4）若△ABC固定不動，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，
∴∠BAD≠∠CAE，
∴△ABD與△ACE不一定全等，
∴（4）錯誤；
（5）當(dāng)AF與AB重合時，
AE=$\frac{1}{2}$AF，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，
∴DF$≠\frac{1}{2}$AF，
∴AE與DF不一定相等；
∴（5）錯誤．
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．根據(jù)相似三角形或全等三角形得出線段成比例或相等是解題的關(guān)鍵．