Question

3．已知二次函數(shù)的圖象的對(duì)你軸是x=2，在x軸上截得的線段長(zhǎng)為8，且過(guò)點(diǎn)（5，-7），求解下列問(wèn)題：
（1）函數(shù)的解析式；
（2）作出函數(shù)的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所截線段長(zhǎng)度為8，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為（m，0）和（m-8，0），根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，且對(duì)稱(chēng)軸為x=2，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)、與y軸的交點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），（6，0），（5，-7），利用五點(diǎn)法畫(huà)出圖象即可．

解答 解：（1）∵拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為8，
∴可設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為（m，0）和（m-8，0），
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，
∴$\frac{m+m+8}{2}=2$，解得m=-2，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為（-2，0），（6，0），
設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x-6），
點(diǎn)（5，-7）在拋物線上，
∴-7=a（5+2）（5-6），解得a=1，
∴拋物線解析式為：y=（x+2）（x-6）=x²-4x-12；
（2）圖象如圖所示：
∵拋物線解析式為：y=x²-4x-12，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-12，即拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，-12），
∵y=x²-4x-12=（x-2）²-16，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-16）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，能夠根據(jù)拋物線在x軸上截得線段為8，用含m的式子表示出兩點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)性求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵．