Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將面積為2的長方形OABC向右翻轉(zhuǎn)90°，點B落在點D處，已知點B在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，OA=2．
（1）求k的值，并直接寫出點D的坐標(biāo)；
（2）點A、D關(guān)于直線l對稱，則在備用圖1中，先畫出直線l，再求直線l的函數(shù)解析式；
（3）若點M是y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的動點，點N是x軸上的動點，當(dāng)以A、D、M、N頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長方形OABC的面積為2，OA=2求出OC的長，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出D點坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)點E為線段AD的中點，根據(jù)AD的坐標(biāo)得出E點坐標(biāo)，再由點A、D關(guān)于直線l對稱可知直線l是線段AD的垂直平分線，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，同理可得出直線l的解析式；
（3）設(shè)N（x，0），M（a，$\frac{2}{a}$），再分AM為平行四邊形的邊與對角線兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵長方形OABC的面積為2，OA=2，
∴OC=1，
∴B（1，2），
∴k=1×2=2；
∵長方形OABC向右翻轉(zhuǎn)90°，點B落在點D處，
∴CD=BC=2，
∴D（3，0）；

（2）如圖1，設(shè)點E為線段AD的中點，
∵A（0，2），D（3，0），
∴E（$\frac{3}{2}$，1）．
∵點A、D關(guān)于直線l對稱，
∴直線l是線段AD的垂直平分線．
設(shè)直線AD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 3a+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2．
∵l⊥AD，
∴設(shè)直線l的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+c，
∴$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$+c=1，解得c=-$\frac{5}{4}$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{4}$；

（3）如圖2，設(shè)N（x，0），M（a，$\frac{2}{a}$），
當(dāng)AM為平行四邊形的邊時，
∵AM∥DN，AB∥DN，
∴點B與點M重合．
∵AM=DN，且B（1，2），D（3，0），
∴N（2，0），M（1，2）；
當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時，
∵A（0，2），
∴$\frac{a}{2}$=$\frac{3+x}{2}$，$\frac{\frac{2}{a}+3}{2}$=0，解得a=0不合題意．
故N（2，0）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．