Question

8．平面上有A、B、C三點(diǎn)，在此平面上能否找到一個點(diǎn)O，使點(diǎn)O到A、B、C三點(diǎn)的距離相等？如果能，請作出這個點(diǎn)；如果不能，請用反證法加以證明．

Answer 1

分析 分成A、B、C不在一條直線上和在一條直線上兩種情況進(jìn)行討論，第一種情況利用尺規(guī)作圖即可作出，第二種情況利用反證法即可證得．

解答 證明：當(dāng)A、B、C不在一條直線上時，

AB和AC的中垂線的交點(diǎn)就是O；
當(dāng)A、B、C在一條直線上時：
證明：設(shè)三點(diǎn)都在直線l上．
假設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓存在，圓心O一定在線段AB的垂直平分線l₁上，則l⊥l₁，
同時圓心O一定在線段BC的垂直平分線l₂上，則l⊥l₂，
則l₁∥l₂，與O在l₁和l₂上，即l₁和l₂相交相矛盾．
則經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)的圓不存在．

點(diǎn)評 本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．
反證法的步驟是：
（1）假設(shè)結(jié)論不成立；
（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；
（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．