Question

14．求滿足方程x²+2xy+3y²-2x+y+1=0的所有有序整數(shù)對（x，y）．

Answer 1

分析 首先將原方程可以變形為x²+2（y-1）x+（3y²+y+1）=0，由于這個(gè)關(guān)于x的整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，先確定出y的范圍，進(jìn)而得出整數(shù)y的值，然后代入求解即可求得答案；

解答 解：原方程可化為x²+2（y-1）x+（3y²+y+1）=0，
∵方程x²+2xy+3y²-2x+y+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=4（y-1）²-4（3y²+y+1）=-8y²-12y≥0，
∴y（2y+3）≤0，
∴-$\frac{3}{2}$＜y＜0，
∵y為整數(shù)，
∴y=-1或y=0，
當(dāng)y=-1時(shí)，原方程可化為x²-4x+3=0，
∴x=1或x=3，
即：原方程的整數(shù)解為$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)y=0時(shí)，原方程可化為x²-2x+1=0，
∴x=1，
即：原方程的整數(shù)解為$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
綜合上述，滿足方程x²+2xy+3y²-2x+y+1=0的所有有序整數(shù)對（x，y）為（1，-1），（3，-1），（1，0）．

點(diǎn)評 此題是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整數(shù)根問題．解題的關(guān)鍵是將原方程變形，利用判別式求解．