Question

9．如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分線交于點A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₅BC和∠A_20l5CD的平分線交于點A₂₀₁₆，則∠A₂₀₁₆=$\frac{m}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，進而可求∠A₁，由于∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，…，以此類推可知∠A₂₀₁₆即可求得．

解答 解：∵A₁B平分∠ABC，A₁C平分∠ACD，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CA=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
即$\frac{1}{2}$∠ACD=∠A₁+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，…，
以此類推可知∠A₂₀₁₅=$\frac{1}{{2}^{2016}}$∠A=（$\frac{m}{{2}^{2016}}$）°，
故答案為：$\frac{m}{{2}^{2016}}$．

點評 本題考查了角平分線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，并能找出規(guī)律．