Question

3．根據(jù)條件，求下列二次函數(shù)的解析式．
（1）函數(shù)y=（m-3）x²+mx+（m+3）的最大值為0；
（2）拋物線y=x²-5（m+1）x+2m的對稱軸是y軸．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)a＜0，x=-$\frac{2a}$時，y有最大值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$得到m-3＜0，且$\frac{4（m-3）（m+3）-{m}^{2}}{4（m-3）}$=0，化簡得m²-12=0，然后解方程得m₁=2$\sqrt{3}$，m₂=-2$\sqrt{3}$，最后確定滿足條件的m的值．
（2）由對稱軸是y軸可知一次項系數(shù)為0，可求得m的值．

解答 解：（1）a=m-3，b=m，c=m+3，
∵二次函數(shù)有最大值為0，
∴a＜0即m-3＜0，且$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=0，
即$\frac{4（m-3）（m+3）-{m}^{2}}{4（m-3）}$=0，
化簡得m²-12=0，m₁=2$\sqrt{3}$，m₂=-2$\sqrt{3}$，
∵m＜3，
∴m=-2$\sqrt{3}$．
故二次函數(shù)的解析式為：y=（-2$\sqrt{3}$-3）x²-2$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$+3）．
（2）∵拋物線y=x²-5（m+1）x+2m的對稱軸是y軸，
∴m+1=0，解得m=-1，
故二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值問題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0，x=-$\frac{2a}$時，y有最小值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；當(dāng)a＜0，x=-$\frac{2a}$時，y有最大值$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；也考查拋物線的對稱軸，掌握拋物線的對稱軸為y軸其一次項系數(shù)為0是解題的關(guān)鍵．．