Question

5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)D在邊BC上從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接AD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，若△BCP為等腰三角形，則CP²的值為16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$．

Answer 1

分析 分三種情形：①如圖1中，當(dāng)PC=BC=4時(shí)，△BCP為等腰三角形，②如圖2中，當(dāng)PC=BP時(shí)，△BCP為等腰三角形，③如圖3中，當(dāng)BC=BP時(shí)，D與B重合，△BCP為等腰三角形分別求解即可．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)PC=BC=4時(shí)，△BCP為等腰三角形，
∴CP²=16；
②如圖2中，當(dāng)PC=BP時(shí)，△BCP為等腰三角形，
∵點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，
∴PC⊥AD，
過P作PF⊥BC于F，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，設(shè)CD=DP=x，則DF=2-x，PF=$\sqrt{{x}^{2}-（2-x）^{2}}$，
由△CFP∽△ACD得到$\frac{PF}{DC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}-（2-x）^{2}}}{x}$=$\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴PC²=PF²+CF²=4x-4+4=4x=18-6$\sqrt{5}$．
③如圖3中，當(dāng)BC=BP時(shí)，D與B重合，，△BCP為等腰三角形．
∵AC=3，BC=4，∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PC=2CO=2×$\frac{AC×CB}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
∴PC²=$\frac{576}{25}$．
綜上所述PC²的值為16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$．
度答案為16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解，屬于中考�？碱}型．